Estadística de cálculo del eje de un pliegue

Por: Ludger O. Suarez-Burgoa (Universidad Nacional de Colombia).

El objetivo aquí buscado es el de encontrar el vector del eje del pliegue (\(\boldsymbol{f}\)) con base a medidas de los planos que forman los flancos (\(\boldsymbol{p}_{[i]}\)).

Para ello se tiene que minimizar la suma de todos los productos escalares —elevados a la segunda potencia— de cada dirección de los flancos con del vector del eje del pliegue (\(S\)) para \(n\) medidas, \begin{equation} \label{eq: minimizacion} S =\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \boldsymbol{p}_{[i]}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{f} \right)^2}. \end{equation}

El producto a la segunda potencia \((\boldsymbol{p}_{[i]}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{f})^2\) se opera de modo de tener la equivalencia \begin{equation} (\boldsymbol{p}_{[i]}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{f})^2 =\boldsymbol{f}^{\mathrm{T}} \left( \boldsymbol{p}_{[i]} \boldsymbol{p}_{[i]}^{\mathrm{T}} \right) \boldsymbol{f}. \end{equation}

Si llamamos \(\boldsymbol{T}_{[i]}\) al producto entre los paréntesis \(\left( \boldsymbol{p}_{[i]}\boldsymbol{p}_{[i]}^{\mathrm{T}} \right)\), que es una matriz de \(3\times3\), tenemos \begin{equation} S = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \boldsymbol{f}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{T}_{[i]} \boldsymbol{f} }. \end{equation}

Pero \(\boldsymbol{f}\) es constante, entonces \begin{equation} S = \boldsymbol{f}^{\mathrm{T}} \left(\sum\limits_{i=1}^{n}{\boldsymbol{T}_{[i]}}\right) \boldsymbol{f}. \end{equation}

La minimización de \(S\) se puede encontrar de obtener la descomposición en valores propios de la matriz \begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{n}{\boldsymbol{T}_{[i]}}^{\mathrm{T}}, \end{equation*} luego de escoger el menor valor propio. De este modo, el vector asociado a este menor valor propio resultaría ser el vector buscado \(\boldsymbol{f}\).